Le CIELT est le correspondant officiel en France du Centro Internazionale di Studi sulla Sindone (CISS). le président du CIELT, Laurent Touchagues, est le délégué en France du CISS.
Depuis 1598, existe à Turin une confraternité ou confrérie du Saint Suaire, vouée aux œuvres de charité.
En 1936, l’intérêt scientifique croissant concernant le Linceul fait émerger la nécessité de constituer une structure pour coordonner les études au niveau international. C’et ainsi que la confrérie fonde, avec l’approbation de l’archevêque de Turin, l’association Cultores Sanctae Sindonis.
En 1959, l’activité, désormais très exigeante au niveau international, rend nécessaire la constitution d’un nouvel organisme, le Centro Internazionale di Sindonologia, qui continue l’activité des Cultores et lance aussitôt la revue Sindon. Le Centro Internazionale di Sindonologia prend ensuite le nom de Centro Internazionale di Studi sulla Sindone. Il est le seul organisme officiellement reconnu par l’archevêque de Turin, custode pontifical du Suaire depuis 1984.

Un second organisme, le Centro español de sindonologia, est affilié au Centro Internazionale di Studi sulla Sindone (CISS) de Turin, dont il est le représentant en Espagne.

Les échanges scientifiques entre les trois centres sont fréquents.

Le Musée du suaire (Museo della Sindone) de Turin trouve son origine dans une exposition permanente de documents et d’objets liés au Linceul réalisée en 1936 par la Confraternita del Santo Sudario. En 1998, il a été réaménagé dans des locaux, 28 via San Domenico à Turin, où il occupe le rez-de-chaussée du bâtiment et la crypte de l’église du Saint-Suaire ; cette église, de style baroque, a été édifiée entre 1734 et 1764 pour les besoins liturgiques de la confrérie, à côté de l’Ospedale de Pazzerelli, asile pour les malades mentaux. Le musée, géré en lien avec le Centro Internazionale di Studi sulla Sindone (CISS), se propose de faire connaître les différents aspects du Linceul. Après le visionnage d’un film qui développe la lecture analytique du tissu, le visiteur est accueilli, à l’entrée du sous-sol, par une statue de l’Homme du Linceul et, dans la niche de gauche, par des réalisations d’artistes inspirées de son visage, dans la niche de droite, par l’appareil photographique de Secondo Pia.
La salle d’exposition est composée de plusieurs sections. La section scientifique évoque les études menées depuis 1898 : analyses microscopiques, médico-légales, palynologiques, numismatiques ; découverte de l’image tri-dimensionnelle, etc. Dans le passage vers la section historique se trouve une reproduction grandeur nature du Linceul. La section historique évoque l’histoire du Linceul depuis le milieu du XIV^e siècle ; elle abonde de représentations iconographiques : gravures, tableaux, etc.
Une salle, dédiée à la documentation photographique, propose la série complète des photographies officielles depuis 1898 et, parmi celles-ci, les fameux clichés de Secondo Pia jusqu’aux dernières de Gian Durante en 2010.
Le musée conserve aussi deux coffrets : celui qui a servi au transfert du Linceul de Chambéry à Turin en 1578 et le reliquaire en argent qui a contenu le Linceul de la fin du xvii^e siècle à 1997. Le mode de conservation actuel du Linceul est aussi détaillé.
Des anciens insignes processionnels de la Confrérie du Très Saint Suaire, érigée en 1598, ferment le parcours.